Lineare Algebra Beispiele

$\frac{x - 5}{- x - 1} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 5 = 0$

$- x - 1 = 0$

Schritt 2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 1$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - 1$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 5$

$x = - 1$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 5, - 1$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x - 5}{- x - 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 5}{- x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - 1$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 4) - 5}{- (- 4) - 1} < 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 5}{- (0) - 1} < 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(8) - 5}{- (8) - 1} < 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{3}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1$ oder $x > 5$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 1 or x > 5$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (5, \infty)$

Schritt 12